线性代数（经管类）

<div> <h2>行列式展开公式</h2> <p>行列式按行（列）展开是计算行列式的一种重要方法。其基本思想是将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的问题。具体来说，对于n阶行列式D，我们可以选择其中任意一行或一列，利用该行或列的元素及其对应的代数余子式来表示整个行列式的值。</p> <h3>行列式展开公式</h3> <p>假设行列式D的第i行元素为a_i1, a_i2, ..., a_in，则D可以按照第i行展开为：</p> <p>D = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ... + a_inA_in</p> <p>其中A_ij表示元素a_ij的代数余子式。</p> <h3>例题说明</h3> <p>考虑一个3阶行列式：</p> <pre> D = | 1 2 3 | | 4 5 6 | | 7 8 9 | </pre> <p>我们可以选择第一行来展开行列式：</p> <pre> D = 1 * A₁₁ - 2 * A₁₂ + 3 * A₁₃ </pre> <p>接下来我们需要计算每个代数余子式A₁₁, A₁₂, A₁₃。</p> <ul> <li>A₁₁是去掉第一行和第一列后剩下的2阶行列式：| 5 6 | = 5*9 - 6*8 = -3</li> <li>A₁₂是去掉第一行和第二列后剩下的2阶行列式：| 4 6 | = 4*9 - 6*7 = -6</li> <li>A₁₃是去掉第一行和第三列后剩下的2阶行列式：| 4 5 | = 4*8 - 5*7 = -3</li> </ul> <p>因此：</p> <pre> D = 1 * (-3) - 2 * (-6) + 3 * (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 </pre> </div>

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