高等数学（工本）

<div> <h2>无穷小量阶的比较</h2> <p>无穷小量的阶用来描述两个无穷小量接近速度的快慢程度。如果当$x \to x_0$时，$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是无穷小量，则有：</p> <ul> <li>若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶的无穷小量，记为$\alpha(x) = o(\beta(x))$。</li> <li>若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c$ ($c$为非零常数)，则称$\alpha(x)$和$\beta(x)$是同阶的无穷小量。</li> <li>若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称$\alpha(x)$和$\beta(x)$是等价的无穷小量，记为$\alpha(x) \sim \beta(x)$。</li> </ul> <h3>例题说明</h3> <p>假设我们需要判断$x^2$和$x^3$在$x \to 0$时的阶的关系。</p> <p>解：计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$，因为这个极限趋近于无穷大，所以$x^2$是比$x^3$低阶的无穷小量，即$x^2 = o(x^3)$。</p> <p>再考虑$x - \sin x$和$x^3$在$x \to 0$时的关系。</p> <p>解：计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$。根据洛必达法则，连续求导三次后得到$\lim\limits_{x \to 0} \frac{6\cos x}{6} = 1$，因此$x - \sin x$和$x^3$是同阶无穷小量。</p> </div>

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