高等数学（工本）

<div> <h2>无穷小量的概念及定义</h2> <p>无穷小量是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于零的过程。具体来说，设$f(x)$是定义在$x_0$邻域内的函数，若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$，则称$f(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量。</p> <h3>例题1</h3> <p>证明$\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$，即$x^2$是当$x \to 0$时的无穷小量。</p> <p><b>证明：</b></p> <p>对于任意给定的正数$\epsilon > 0$，要使$|x^2 - 0| < \epsilon$成立，只需取$\delta = \sqrt{\epsilon}$，当$|x - 0| < \delta$时，有$|x^2 - 0| = |x^2| < \delta^2 = \epsilon$。因此，$\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$，即$x^2$是当$x \to 0$时的无穷小量。</p> <h3>无穷小量的比较</h3> <p>当$x \to x_0$时，若有两个无穷小量$\alpha(x)$和$\beta(x)$，则它们的比值$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$的极限存在且不为零时，称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小；若极限为1，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小。</p> <h3>例题2</h3> <p>证明当$x \to 0$时，$x^2$与$x$是同阶无穷小。</p> <p><b>证明：</b></p> <p>计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim\limits_{x \to 0} x = 0$，这个极限存在且不为零，所以$x^2$与$x$是同阶无穷小。</p> </div>

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