第九节 极限存在准则 两个重要极限
利用极限存在准则和重要极限求解复杂函数的极限
重要程度：8 分
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<h2>极限存在准则</h2>
<p>极限存在准则主要包含以下几点：</p>
<ul>
<li><strong>夹逼定理</strong>：若在某点附近有三个函数f(x)、g(x)和h(x)，且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，当x趋向于某个值a时，g(x)和h(x)的极限都为L，则f(x)在x趋向于a时的极限也为L。</li>
<li><strong>单调有界定理</strong>：若一个数列{an}是单调递增或递减的，并且有上界或下界，则这个数列必有极限。</li>
</ul>
<h2>两个重要极限</h2>
<ul>
<li><strong>重要极限1</strong>：
<p>$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1$$</p>
</li>
<li><strong>重要极限2</strong>：
<p>$$\lim_{{x \to \infty}} (1 + \frac{1}{x})^x = e$$</p>
</li>
</ul>
<h2>例题解析</h2>
<p>使用极限存在准则和重要极限求解复杂函数的极限：</p>
<ol>
<li>
<p>求$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 3x}{x}$</p>
<p>解：根据重要极限1，我们知道$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1$。因此，可以将原式变形为$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{{x \to 0}} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$。</p>
</li>
<li>
<p>求$\lim_{{x \to \infty}} (1 + \frac{2}{x})^x$</p>
<p>解：根据重要极限2，我们知道$\lim_{{x \to \infty}} (1 + \frac{1}{x})^x = e$。因此，可以将原式变形为$\lim_{{x \to \infty}} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{{x \to \infty}} ((1 + \frac{2}{x})^{x/2})^2 = e^2$。</p>
</li>
</ol>
</div>