高等数学（工本）

<div> <h2>无穷小与函数极限的关系</h2> <p>在理解无穷小与函数极限的关系时，我们首先需要明确几个关键概念：</p> <ul> <li><strong>无穷小量</strong>：当自变量趋向于某个值时，函数的极限为0。</li> <li><strong>无穷大量</strong>：当自变量趋向于某个值时，函数的绝对值无限增大。</li> </ul> <p>无穷小与函数极限之间的关系可以通过以下几个方面来理解：</p> <ol> <li>若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$，则$f(x) = A + \alpha(x)$，其中$\alpha(x)$是当$x \to x_0$时的无穷小量。</li> <li>若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$，则$f(x)$是$x \to x_0$时的无穷小量。</li> <li>若$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$或$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty$，则$f(x)$是$x \to x_0$时的无穷大量。</li> </ol> <h3>例题说明</h3> <p>考虑函数$f(x) = \frac{\sin x}{x}$，求$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$。</p> <p>我们知道$\lim\limits_{x \to 0} \sin x = 0$，因此$\sin x$是$x \to 0$时的无穷小量。</p> <p>根据洛必达法则（L'Hôpital's Rule），当分子分母同时趋向于0或无穷大时，可以分别对它们求导数，然后再次求极限：</p> <p>$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。</p> <p>因此，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。</p> </div>

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