高等数学（工本）

<div> <h2>无穷大的定义</h2> <p>如果函数$f(x)$在$x \to x_0$（或$x \to \infty$）时的极限是无穷大，则表示随着$x$接近$x_0$（或$x$趋向于无穷大），$f(x)$的值将变得任意大。</p> <p>用数学语言表述就是：</p> <ul> <li>当$x \to x_0$时，若对任何正数$M$，存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，都有$|f(x)| > M$，则称$f(x)$当$x \to x_0$时为无穷大，记作$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$。</li> <li>当$x \to \infty$时，若对任何正数$M$，存在正数$X$，使得当$|x| > X$时，都有$|f(x)| > M$，则称$f(x)$当$x \to \infty$时为无穷大，记作$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$。</li> </ul> <h3>例题说明</h3> <p>考虑函数$f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$，我们来证明当$x \to 1$时，$f(x)$是无穷大。</p> <p>根据定义，我们需要证明对于任意正数$M$，存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - 1| < \delta$时，都有$|f(x)| > M$。</p> <p>首先，$|f(x)| = |\frac{1}{(x-1)^2}|$，要使$|\frac{1}{(x-1)^2}| > M$，即$(x-1)^2 < \frac{1}{M}$，从而有$|x-1| < \sqrt{\frac{1}{M}}$。</p> <p>因此，我们可以选择$\delta = \sqrt{\frac{1}{M}}$。这样，当$0 < |x - 1| < \delta$时，就有$|f(x)| > M$。</p> <p>所以，$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \infty$。</p> </div>

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