算术基本定理
唯一分解定理
重要程度：10 分
<div>
<h2>唯一分解定理</h2>
<p><strong>定义：</strong>唯一分解定理（也称为算术基本定理）指出，每个大于1的自然数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积，这里的唯一性是指除了质因数的顺序外没有别的分解方式。</p>
<p><strong>表达形式：</strong>设 \( n \) 是一个大于1的正整数，则存在唯一的质数 \( p_1, p_2, \ldots, p_k \) 和正整数 \( e_1, e_2, \ldots, e_k \)，使得
<br>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub></mrow></msup><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub><msup><mi>e</mi><mrow><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub></mrow></msup><mo>⋯</mo><msup><mi>p</mi><mrow><msub><mi>e</mi><mi>k</mi></msub></mrow></msup>
</math>
<br>
其中 \( p_1 < p_2 < \cdots < p_k \)。
</p>
<h3>例题</h3>
<p><strong>例题1：</strong>将100分解为质数的乘积。</p>
<p><strong>解答：</strong>首先找到100的所有质因数：
<br>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
100 = 2^2 \times 5^2
</math>
<br>
因此，100可以唯一地表示为 \( 2^2 \times 5^2 \)。
</p>
<p><strong>例题2：</strong>验证唯一分解定理：将144分解为质数的乘积，并证明其唯一性。</p>
<p><strong>解答：</strong>首先找到144的所有质因数：
<br>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
144 = 2^4 \times 3^2
</math>
<br>
因此，144可以唯一地表示为 \( 2^4 \times 3^2 \)。
</p>
</div>