最大公因数与最小公倍数
整数间的整除关系与最大公因数、最小公倍数的关系
重要程度：7 分
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<h2>整除关系与最大公因数、最小公倍数的关系</h2>
<p><strong>定义：</strong></p>
<ul>
<li>若整数a能被整数b整除，则称b是a的因数（或因子），a是b的倍数。</li>
<li>两个整数a和b的最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）记为gcd(a, b)，是能同时整除a和b的最大正整数。</li>
<li>两个整数a和b的最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）记为lcm(a, b)，是能被a和b整除的最小正整数。</li>
</ul>
<p><strong>定理：</strong></p>
<p>对于任意两个非零整数a和b，有以下关系：</p>
<p><em>gcd(a, b) * lcm(a, b) = |a * b|</em></p>
<p><strong>证明思路：</strong></p>
<p>通过辗转相除法求得gcd(a, b)，然后利用公式计算lcm(a, b)。</p>
<p><strong>举例说明：</strong></p>
<p>设a = 12，b = 18：</p>
<ul>
<li>首先求gcd(12, 18)：</li>
<ol>
<li>18 ÷ 12 = 1...6 (余数为6)</li>
<li>12 ÷ 6 = 2...0 (余数为0)</li>
<li>所以gcd(12, 18) = 6</li>
</ol>
<li>根据公式gcd(a, b) * lcm(a, b) = |a * b|，可以得出：</li>
<ol>
<li>6 * lcm(12, 18) = |12 * 18|</li>
<li>6 * lcm(12, 18) = 216</li>
<li>因此lcm(12, 18) = 36</li>
</ol>
</ul>
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