整除的基本性质
最大公约数与最小公倍数
重要程度：9 分
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<h2>最大公约数 (Greatest Common Divisor, GCD)</h2>
<p>最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。</p>
<p>例如：对于整数 12 和 18：</p>
<ul>
<li>12 的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 12</li>
<li>18 的约数有：1, 2, 3, 6, 9, 18</li>
</ul>
<p>它们的公约数有：1, 2, 3, 6</p>
<p>因此，12 和 18 的最大公约数是 6。</p>
<h2>最小公倍数 (Least Common Multiple, LCM)</h2>
<p>最小公倍数是指能够同时被几个整数整除的最小正整数。</p>
<p>例如：对于整数 12 和 18：</p>
<ul>
<li>12 的倍数有：12, 24, 36, 48, 60, 72, ...</li>
<li>18 的倍数有：18, 36, 54, 72, 90, ...</li>
</ul>
<p>它们的公倍数有：36, 72, ...</p>
<p>因此，12 和 18 的最小公倍数是 36。</p>
<h2>最大公约数与最小公倍数的关系</h2>
<p>对于任意两个正整数 \(a\) 和 \(b\)，它们的最大公约数 \(\gcd(a, b)\) 与最小公倍数 \(\text{lcm}(a, b)\) 满足以下关系：</p>
<p>\[\gcd(a, b) \times \text{lcm}(a, b) = a \times b\]</p>
<p>例如：对于整数 12 和 18：</p>
<ul>
<li>\(\gcd(12, 18) = 6\)</li>
<li>\(\text{lcm}(12, 18) = 36\)</li>
</ul>
<p>验证：\(6 \times 36 = 12 \times 18 = 216\)</p>
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