1.5 概率与统计基础
常用分布
重要程度：8 分
<h2>1.5 概率与统计基础 - 常用分布</h2>
<h3>一、离散型随机变量的分布</h3>
<p><strong>1. 伯努利分布（两点分布）</strong></p>
<ul>
<li>如果一个随机试验只有两种可能的结果，记为成功或失败，则称该试验为伯努利试验。</li>
<li>设成功的概率为 \(p\) (0 < \(p\) < 1)，失败的概率为 \(q=1-p\)。则随机变量X取值为1（表示成功）的概率是\(p\)；取值为0（表示失败）的概率是\(q\)。</li>
</ul>
<p><em>例题：</em>抛一枚公平硬币一次，正面朝上的概率为0.5。这里，正面朝上可以看作是一次成功的伯努利试验。</p>
<p><strong>2. 二项分布</strong></p>
<ul>
<li>在n次独立重复的伯努利试验中，每次试验成功的概率都是p，那么在这n次试验里恰好发生k次成功的概率服从参数为(n, p)的二项分布，记作B(n, p)。</li>
<li>其概率质量函数(PMF)为：\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]</li>
</ul>
<p><em>例题：</em>若某篮球运动员投篮命中率为70%，连续投篮10次，求至少命中8次的概率。</p>
<p><em>解：</em>使用二项分布公式计算，\(P(X\geq8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)\)。</p>
<h3>二、连续型随机变量的分布</h3>
<p><strong>1. 正态分布</strong></p>
<ul>
<li>正态分布是一种非常重要的连续型概率分布，具有两个参数μ（均值）和σ²（方差），记作N(μ, σ²)。</li>
<li>标准正态分布是指均值μ=0，方差σ²=1的情况。</li>
<li>任意正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。</li>
</ul>
<p><em>例题：</em>假设某地区成年男性身高服从均值为175cm、标准差为6cm的正态分布。问身高超过185cm的人占比是多少？</p>
<p><em>解：</em>首先将问题转换到标准正态分布下解决，然后查找标准正态分布表得到答案。</p>
<p><strong>2. 均匀分布</strong></p>
<ul>
<li>如果随机变量X的所有可能取值位于区间[a, b]内，并且每个子区间的概率密度相同，则称X服从[a, b]上的均匀分布。</li>
<li>其概率密度函数PDF为：\[f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
0, & 其他
\end{cases}\]
</ul>
<p><em>例题：</em>公交车每15分钟一班，在车站等待的时间T是一个[0, 15]分钟内的随机变量，求等待时间不超过5分钟的概率。</p>
<p><em>解：</em>由于T服从[0, 15]上的均匀分布，所以所求概率为\(P(T\leq5)=\frac{5-0}{15-0}=\frac{1}{3}\)。</p>
以上内容涵盖了《物流数学》第一章关于概率与统计基础知识中的重点部分——常用分布，包括了离散型随机变量的伯努利分布及二项分布，以及连续型随机变量的正态分布和均匀分布的基本概念及其应用实例。