1.2 初等数学复习
函数的概念及性质
重要程度：9 分
<h2>1.2 初等数学复习 - 函数的概念及性质</h2>
<h3>一、函数的基本概念</h3>
<p><strong>定义：</strong> 设有两个非空数集A和B，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从A到B的一个函数。记作：\(y=f(x)\)，其中x称为自变量，y称为因变量。</p>
<h3>二、函数的主要性质</h3>
<ol>
<li><strong>奇偶性：</strong>
<ul>
<li>如果对于所有属于定义域内的x，都有\(f(-x) = f(x)\)，则称f(x)为偶函数；</li>
<li>如果对于所有属于定义域内的x，都有\(f(-x) = -f(x)\)，则称f(x)为奇函数。</li>
</ul>
</li>
<li><strong>单调性：</strong>
<ul>
<li>若对定义域内任意两个不同的值\(x_1, x_2\)，当\(x_1 < x_2\)时总有\(f(x_1) \leq f(x_2)\)，则称f在该区间上是增函数；</li>
<li>反之，若\(x_1 < x_2\)时总有\(f(x_1) \geq f(x_2)\)，则称f在该区间上是减函数。</li>
</ul>
</li>
<li><strong>周期性：</strong> 如果存在一个正数T，使得对于定义域内的每个x，都有\(f(x+T)=f(x)\)，则称f(x)为周期函数，T为其周期。</li>
<li><strong>有界性：</strong> 如果存在常数M，使得对于定义域内的所有x，都有\(|f(x)| \leq M\)，则称f(x)是有界的。</li>
</ol>
<h3>三、例题解析</h3>
<ol>
<li><strong>判断下列函数是否为奇函数或偶函数:</strong>
<p>\(f(x) = x^2 + 1\)</p>
<p><strong>解：</strong> 因为\(f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)\)，所以\(f(x)\)是一个偶函数。</p>
</li>
<li><strong>讨论函数\(g(x) = 2x - 3\)在其定义域上的单调性:</strong>
<p><strong>解：</strong> 对于任意\(x_1 < x_2\)，有\(g(x_1) = 2x_1 - 3 < 2x_2 - 3 = g(x_2)\)，因此\(g(x)\)在其整个定义域上是严格增加的。</p>
</li>
</ol>
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