线性代数

<h2>1. 行列式的定义</h2> <p>行列式是一个标量值，可以从一个方阵（即行数和列数相等的矩阵）中计算得出。对于一个 \( n \times n \) 的方阵 \( A \)，其行列式记作 \( \det(A) \) 或者 \( |A| \)。</p> <h3>1.1 二阶行列式</h3> <p>对于一个 \( 2 \times 2 \) 的矩阵 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)，其行列式定义为：</p> \[ \det(A) = ad - bc \] <h4>例题 1.1</h4> <p>计算下列二阶行列式的值：</p> \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \] <p>解：</p> \[ \det(A) = (3 \cdot 4) - (2 \cdot 1) = 12 - 2 = 10 \] <h3>1.2 三阶行列式</h3> <p>对于一个 \( 3 \times 3 \) 的矩阵 \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \)，其行列式定义为：</p> \[ \det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \] <h4>例题 1.2</h4> <p>计算下列三阶行列式的值：</p> \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \] <p>解：</p> \[ \det(A) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) \] \[ = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) \] \[ = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) \] \[ = -3 + 12 - 9 = 0 \] <h3>1.3 n 阶行列式</h3> <p>对于一个 \( n \times n \) 的矩阵 \( A \)，其行列式可以通过递归的方式定义。具体来说，行列式可以通过按第一行展开来计算：</p> \[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det(M_{1j}) \] <p>其中，\( M_{1j} \) 是去掉第 1 行和第 \( j \) 列后的 \( (n-1) \times (n-1) \) 子矩阵，称为余子式。</p> <h4>例题 1.3</h4> <p>计算下列四阶行列式的值（简化计算，只展开第一行）：</p> \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix} \] <p>解：</p> \[ \det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 10 & 11 & 12 \\ 14 & 15 & 16 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 7 & 8 \\ 9 & 11 & 12 \\ 13 & 15 & 16 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 6 & 8 \\ 9 & 10 & 12 \\ 13 & 14 & 16 \end{pmatrix} - 4 \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 9 & 10 & 11 \\ 13 & 14 & 15 \end{pmatrix} \] <p>通过进一步计算每个三阶行列式的值，最终可以得到 \( \det(A) = 0 \)。</p>

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