线性代数

<h2>1.2 二阶与三阶行列式的展开定理</h2> <h3>1.2.1 二阶行列式的展开</h3> <p>对于一个二阶行列式：</p> <pre> | a₁₁ a₁₂ | | a₂₁ a₂₂ | </pre> <p>其值可以通过对角线法则计算，即：</p> <pre> D = a₁₁ * a₂₂ - a₁₂ * a₂₁ </pre> <h3>1.2.2 三阶行列式的展开</h3> <p>对于一个三阶行列式：</p> <pre> | a₁₁ a₁₂ a₁₃ | | a₂₁ a₂₂ a₂₃ | | a₃₁ a₃₂ a₃₃ | </pre> <p>可以按第一行展开，公式为：</p> <pre> D = a₁₁ * A₁₁ + a₁₂ * A₁₂ + a₁₃ * A₁₃ </pre> <p>其中，\( A_{ij} \) 是元素 \( a_{ij} \) 的代数余子式，定义为：</p> <pre> A_ij = (-1)^i+j * M_ij </pre> <p>而 \( M_{ij} \) 是去掉第 \( i \) 行和第 \( j \) 列后的二阶行列式的值。</p> <h4>例题 1：计算二阶行列式的值</h4> <p>给定二阶行列式：</p> <pre> | 2 3 | | 4 5 | </pre> <p>根据对角线法则，计算其值：</p> <pre> D = 2 * 5 - 3 * 4 = 10 - 12 = -2 </pre> <h4>例题 2：计算三阶行列式的值</h4> <p>给定三阶行列式：</p> <pre> | 1 2 3 | | 4 5 6 | | 7 8 9 | </pre> <p>按第一行展开，计算其值：</p> <pre> D = 1 * A₁₁ + 2 * A₁₂ + 3 * A₁₃ </pre> <p>计算各代数余子式：</p> <pre> A₁₁ = (-1)¹⁺¹ * | 5 6 | = 1 * (5 * 9 - 6 * 8) = 5 * 9 - 6 * 8 = 45 - 48 = -3 | 8 9 | A₁₂ = (-1)¹⁺² * | 4 6 | = -1 * (4 * 9 - 6 * 7) = -(4 * 9 - 6 * 7) = -(36 - 42) = 6 | 7 9 | A₁₃ = (-1)¹⁺³ * | 4 5 | = 1 * (4 * 8 - 5 * 7) = 4 * 8 - 5 * 7 = 32 - 35 = -3 | 7 8 | </pre> <p>代入展开公式：</p> <pre> D = 1 * (-3) + 2 * 6 + 3 * (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 </pre>

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