线性代数

<h2>1. 行列式的性质</h2> <h3>1.1 二阶行列式</h3> <p>对于二阶行列式 <code>D = |a₁₁ a₁₂| = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁</code>，其性质如下：</p> <ul> <li><strong>转置不变性：</strong>行列式与其转置行列式的值相等。即 <code>D = |a₁₁ a₂₁| = |a₁₁ a₁₂|</code></li> <li><strong>行交换变号：</strong>交换两行（或两列），行列式的值变号。例如：交换第一行和第二行，<code>D = -D'</code></li> <li><strong>数乘行（列）：</strong>某一行（或列）的元素都乘以一个常数 <code>k</code>，则行列式的值也乘以 <code>k</code>。例如：<code>k|a₁₁ a₁₂| = k(a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁)</code></li> <li><strong>行（列）相加：</strong>某一行（或列）的每个元素加上另一行（或列）对应元素的倍数，行列式的值不变。例如：<code>|a₁₁ + ka₂₁ a₁₂ + ka₂₂| = |a₁₁ a₁₂|</code></li> </ul> <h4>例题 1.1.1</h4> <p>计算下列二阶行列式的值：<code>D = |3 5|</code></p> <p>解：<code>D = 3 * 7 - 5 * 2 = 21 - 10 = 11</code></p> <h3>1.2 三阶行列式</h3> <p>对于三阶行列式 <code>D = |a₁₁ a₁₂ a₁₃| = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)</code>，其性质如下：</p> <ul> <li><strong>转置不变性：</strong>行列式与其转置行列式的值相等。即 <code>D = |a₁₁ a₂₁ a₃₁| = |a₁₁ a₁₂ a₁₃|</code></li> <li><strong>行交换变号：</strong>交换两行（或两列），行列式的值变号。例如：交换第一行和第二行，<code>D = -D'</code></li> <li><strong>数乘行（列）：</strong>某一行（或列）的元素都乘以一个常数 <code>k</code>，则行列式的值也乘以 <code>k</code>。例如：<code>k|a₁₁ a₁₂ a₁₃| = kD</code></li> <li><strong>行（列）相加：</strong>某一行（或列）的每个元素加上另一行（或列）对应元素的倍数，行列式的值不变。例如：<code>|a₁₁ + ka₂₁ a₁₂ + ka₂₂ a₁₃ + ka₂₃| = D</code></li> <li><strong>零行（列）：</strong>如果某一行（或列）的所有元素都是零，则行列式的值为零。</li> <li><strong>比例行（列）：</strong>如果有两行（或两列）成比例，则行列式的值为零。</li> </ul> <h4>例题 1.2.1</h4> <p>计算下列三阶行列式的值：<code>D = |1 2 3|</code></p> <p>解：<code>D = 1(5*9 - 6*8) - 2(4*9 - 6*7) + 3(4*8 - 5*7)</code></p> <p><code>= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)</code></p> <p><code>= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)</code></p> <p><code>= -3 + 12 - 9 = 0</code></p> <h4>例题 1.2.2</h4> <p>证明：如果三阶行列式中有两行成比例，则行列式的值为零。</p> <p>设 <code>D = |a₁₁ a₁₂ a₁₃|</code>，且第二行是第一行的 <code>k</code> 倍，即 <code>a₂₁ = ka₁₁, a₂₂ = ka₁₂, a₂₃ = ka₁₃</code>。</p> <p>则 <code>D = a₁₁(ka₁₂a₃₃ - ka₁₃a₃₂) - a₁₂(ka₁₁a₃₃ - ka₁₃a₃₁) + a₁₃(ka₁₁a₃₂ - ka₁₂a₃₁)</code></p> <p><code>= k[a₁₁(a₁₂a₃₃ - a₁₃a₃₂) - a₁₂(a₁₁a₃₃ - a₁₃a₃₁) + a₁₃(a₁₁a₃₂ - a₁₂a₃₁)]</code></p> <p><code>= kD'</code></p> <p>其中 <code>D'</code> 是一个二阶行列式，显然 <code>D' = 0</code>，因此 <code>D = 0</code>。</p>

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