矩阵的等价标准形
矩阵秩的定义与性质
重要程度：9 分
<div>
<h2>矩阵的秩</h2>
<p><strong>定义：</strong>矩阵A的秩是指矩阵A中最高阶非零子式的阶数。记作rank(A)或r(A)。</p>
<h3>性质：</h3>
<ul>
<li>若矩阵A为m×n矩阵，则rank(A) ≤ min(m, n)。</li>
<li>若矩阵A经过初等变换得到矩阵B，则rank(A) = rank(B)。</li>
<li>若矩阵A可逆，则rank(A) = n，其中n是矩阵A的列数。</li>
<li>若矩阵A有r阶非零子式而所有r+1阶子式都为零，则rank(A) = r。</li>
</ul>
<h3>例题：</h3>
<p>考虑矩阵A =
<table border="1">
<tr>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
</tr>
<tr>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
</tr>
</table>
</p>
<p>首先计算A的所有2x2子式的值：</p>
<table border="1">
<tr>
<td>(1*5 - 2*4) = -3</td>
<td>(1*6 - 3*4) = -6</td>
<td>(2*6 - 3*5) = -3</td>
</tr>
<tr>
<td>(4*8 - 5*7) = -3</td>
<td>(4*9 - 6*7) = -6</td>
<td>(5*9 - 6*8) = -3</td>
</tr>
</table>
<p>所有2x2子式的值都不为0，因此存在2阶非零子式。接下来检查3x3子式的值：</p>
<p>det(A) = 1*(5*9 - 6*8) - 2*(4*9 - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7) = 0</p>
<p>由于3x3子式的值为0，所以矩阵A的秩为2。</p>
</div>