分块矩阵
分块对角矩阵的性质
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<h2>分块对角矩阵的性质</h2>
<p><strong>定义：</strong> 分块对角矩阵是一个矩阵，它被分成若干个子矩阵，并且除了主对角线上的子矩阵外，其它位置的子矩阵都是零矩阵。</p>
<h3>性质1：行列式</h3>
<p>分块对角矩阵的行列式等于其主对角线上各个子矩阵行列式的乘积。</p>
<pre>
设 A 是一个分块对角矩阵，且
A = diag(A₁, A₂, ..., Aₖ)，其中 A₁, A₂, ..., Aₖ 是子矩阵。
则 |A| = |A₁| * |A₂| * ... * |Aₖ|
</pre>
<h3>性质2：逆矩阵</h3>
<p>如果分块对角矩阵的所有子矩阵都可逆，则该分块对角矩阵也是可逆的，并且其逆矩阵也是分块对角矩阵，其主对角线上的子矩阵分别是原矩阵主对角线上子矩阵的逆矩阵。</p>
<pre>
设 A 是一个可逆的分块对角矩阵，且
A = diag(A₁, A₂, ..., Aₖ)，
其中 A₁, A₂, ..., Aₖ 都是可逆的子矩阵。
则 A⁻¹ = diag(A₁⁻¹, A₂⁻¹, ..., Aₖ⁻¹)
</pre>
<h3>性质3：秩</h3>
<p>分块对角矩阵的秩等于其主对角线上所有非零子矩阵的秩之和。</p>
<pre>
设 A 是一个分块对角矩阵，且
A = diag(A₁, A₂, ..., Aₖ)，其中 A₁, A₂, ..., Aₖ 是子矩阵。
则 rank(A) = rank(A₁) + rank(A₂) + ... + rank(Aₖ)
</pre>
<h3>例题</h3>
<p>设矩阵 A 为：</p>
<pre>
A = [ B 0 ]
[ 0 C ]
其中 B = [1 2]
[3 4]
C = [5 6]
[7 8]
</pre>
<p>求矩阵 A 的行列式、逆矩阵和秩。</p>
<h4>解答</h4>
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|A| = |B| * |C| = (1*4 - 2*3) * (5*8 - 6*7) = -2 * -2 = 4
A⁻¹ = [ B⁻¹ 0 ]
[ 0 C⁻¹ ]
rank(A) = rank(B) + rank(C) = 2 + 2 = 4
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