矩阵的运算
逆矩阵的定义及求法
重要程度：10 分
<h2>逆矩阵的定义</h2>
<p>对于一个n阶方阵A，若存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为n阶单位矩阵），则称A是可逆的，并称B为A的逆矩阵，记作A<sup>-1</sup>。</p>
<h2>逆矩阵的求法</h2>
<p>逆矩阵的求法主要有伴随矩阵法和初等变换法。</p>
<h3>伴随矩阵法</h3>
<ol>
<li>计算矩阵A的行列式|A|。</li>
<li>计算A的伴随矩阵A*，A*的(i,j)元素等于A的(i,j)代数余子式。</li>
<li>若|A|≠0，则A可逆，且A<sup>-1</sup>=A*/|A|。</li>
</ol>
<h3>初等变换法</h3>
<ol>
<li>构造增广矩阵(A|I)，其中I为单位矩阵。</li>
<li>对增广矩阵(A|I)施行行初等变换，将其左侧变为单位矩阵I。</li>
<li>当左侧变为I时，右侧即为A的逆矩阵A<sup>-1</sup>。</li>
</ol>
<h2>例题</h2>
<p>设矩阵A =
<table>
<tr><td>1</td><td>2</td></tr>
<tr><td>3</td><td>4</td></tr>
</table>
</p>
<p>求A的逆矩阵A<sup>-1</sup>。</p>
<p>解：</p>
<p>首先计算|A|=1*4-2*3=-2。</p>
<p>然后计算A的伴随矩阵A*：
<table>
<tr><td>4</td><td>-2</td></tr>
<tr><td>-3</td><td>1</td></tr>
</table>
</p>
<p>最后A<sup>-1</sup>=A*/|A|=
<table>
<tr><td>-2</td><td>1</td></tr>
<tr><td>1.5</td><td>-0.5</td></tr>
</table>
</p>