矩阵的运算
单位矩阵与零矩阵的性质
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<h2>单位矩阵与零矩阵的性质</h2>
<h3>单位矩阵</h3>
<p><strong>定义：</strong> 单位矩阵是一个对角线上元素全为1，其余位置元素全为0的方阵。</p>
<p><strong>符号表示：</strong> 通常用<I>或<I>n</I>表示n阶单位矩阵。</p>
<h4>性质：</h4>
<ul>
<li><strong>乘法性质：</strong> 任何矩阵与同阶单位矩阵相乘，结果不变。即，对于任意m×n矩阵A，有AI<sub>n</sub>=A 和 I<sub>m</sub>A=A。</li>
<li><strong>逆矩阵：</strong> 单位矩阵的逆矩阵是它本身，即I<sup>-1</sup>=I。</li>
</ul>
<h4>例题：</h4>
<p>设矩阵A = <table><tr><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td></tr></table>，则AI<sub>2</sub>=A。</p>
<p>计算：AI<sub>2</sub>=<table><tr><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td></tr></table><table><tr><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td></tr></table>=<table><tr><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td></tr></table>=A</p>
<h3>零矩阵</h3>
<p><strong>定义：</strong> 零矩阵是一个所有元素都为0的矩阵。</p>
<p><strong>符号表示：</strong> 通常用O或O<sub>m×n</sub>表示m行n列的零矩阵。</p>
<h4>性质：</h4>
<ul>
<li><strong>加法性质：</strong> 任何矩阵与零矩阵相加，结果不变。即，对于任意m×n矩阵A，有A+O<sub>m×n</sub>=A。</li>
<li><strong>乘法性质：</strong> 任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。即，对于任意m×n矩阵A和任意n×p矩阵B，有AO<sub>n×p</sub>=O<sub>m×p</sub> 和 O<sub>m×n</sub>B=O<sub>m×p</sub>。</li>
</ul>
<h4>例题：</h4>
<p>设矩阵A = <table><tr><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td></tr></table>，零矩阵O<sub>2×2</sub> = <table><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>，则A+O<sub>2×2</sub>=A。</p>
<p>计算：A+O<sub>2×2</sub>=<table><tr><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td></tr></table>+<table><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td></tr></table>=<table><tr><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>4</td><td>5</td></tr></table>=A</p>