闭区间上连续函数的性质
介值定理
重要程度：9 分
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<h2>介值定理</h2>
<p><strong>介值定理：</strong> 如果函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，并且 \( f(a) \) 和 \( f(b) \) 的值分别为 \( A \) 和 \( B \)，那么对于任意位于 \( A \) 和 \( B \) 之间的值 \( C \)，至少存在一个 \( c \in (a, b) \) 使得 \( f(c) = C \)。</p>
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<h3>例题说明</h3>
<p>假设有一个函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \)，它在闭区间 \([1, 4]\) 上是连续的。</p>
<ul>
<li>计算 \( f(1) \) 和 \( f(4) \) 的值：</li>
<li>\( f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 2 \)</li>
<li>\( f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 5 = 5 \)</li>
</ul>
<p>由于 \( f(1) = 2 \) 和 \( f(4) = 5 \)，根据介值定理，在区间 \([1, 4]\) 内，对于任意的 \( y \) 值在 \( [2, 5] \) 范围内，都存在一个 \( x \) 值使得 \( f(x) = y \)。</p>
<p>例如，取 \( y = 3 \)，我们可以验证是否存在 \( x \) 满足 \( f(x) = 3 \)：</p>
<p>\[ x^2 - 4x + 5 = 3 \]</p>
<p>\[ x^2 - 4x + 2 = 0 \]</p>
<p>解这个方程得到 \( x \) 的值为 \( x = 2 \pm \sqrt{2} \)，都在区间 \([1, 4]\) 内。</p>
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