闭区间上连续函数的性质
最大值和最小值定理
重要程度：8 分
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<h2>最大值和最小值定理</h2>
<p>在闭区间 \([a, b]\) 上连续的函数 \(f(x)\)，必定在这个区间上取得它的最大值和最小值。</p>
<h3>定理解释</h3>
<ul>
<li>对于任意的 \(x \in [a, b]\)，存在一个 \(c \in [a, b]\)，使得 \(f(c)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的最大值。</li>
<li>同样地，存在一个 \(d \in [a, b]\)，使得 \(f(d)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的最小值。</li>
</ul>
<h3>例题</h3>
<p>考虑函数 \(f(x) = x^2\) 在区间 \([-1, 2]\) 上的最大值和最小值。</p>
<ol>
<li>首先计算 \(f(x)\) 的导数：\(f'(x) = 2x\)。</li>
<li>找到导数为零的点：\(2x = 0\)，解得 \(x = 0\)。</li>
<li>检查端点和临界点的函数值：</li>
<ul>
<li>\(f(-1) = (-1)^2 = 1\)</li>
<li>\(f(0) = 0^2 = 0\)</li>
<li>\(f(2) = 2^2 = 4\)</li>
</ul>
<li>比较这些值，可以得出：</li>
<ul>
<li>最大值为 \(f(2) = 4\)，在 \(x = 2\) 处取得。</li>
<li>最小值为 \(f(0) = 0\)，在 \(x = 0\) 处取得。</li>
</ul>
</ol>
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