连续函数的运算与初等函数的连续性
复合函数的连续性条件
重要程度：9 分
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<h2>复合函数的连续性条件</h2>
<p>复合函数是由两个或多个函数通过嵌套的方式组合而成的。假设我们有两个函数 \( g(x) \) 和 \( f(u) \)，其中 \( u = g(x) \)，那么它们的复合函数可以表示为 \( f(g(x)) \)。</p>
<p>复合函数 \( f(g(x)) \) 在点 \( x_0 \) 处连续的充分必要条件是：</p>
<ul>
<li>函数 \( g(x) \) 在点 \( x_0 \) 处连续。</li>
<li>函数 \( f(u) \) 在点 \( u_0 = g(x_0) \) 处连续。</li>
</ul>
<h3>例题</h3>
<p>设 \( g(x) = x^2 \) 和 \( f(u) = \sin(u) \)，求复合函数 \( f(g(x)) = \sin(x^2) \) 在点 \( x_0 = 0 \) 处的连续性。</p>
<ol>
<li>首先检查 \( g(x) = x^2 \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的连续性：</li>
<ul>
<li>\( g(0) = 0^2 = 0 \)</li>
<li>\(\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0\)</li>
<li>由于 \( g(0) = \lim_{x \to 0} g(x) \)，所以 \( g(x) \) 在 \( x_0 = 0 \) 处连续。</li>
</ul>
<li>然后检查 \( f(u) = \sin(u) \) 在 \( u_0 = g(0) = 0 \) 处的连续性：</li>
<ul>
<li>\( f(0) = \sin(0) = 0 \)</li>
<li>\(\lim_{u \to 0} f(u) = \lim_{u \to 0} \sin(u) = 0\)</li>
<li>由于 \( f(0) = \lim_{u \to 0} f(u) \)，所以 \( f(u) \) 在 \( u_0 = 0 \) 处连续。</li>
</ul>
<li>因此，根据复合函数的连续性条件，\( f(g(x)) = \sin(x^2) \) 在 \( x_0 = 0 \) 处连续。</li>
</ol>
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