连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的四则运算规则
重要程度：8 分
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<h2>连续函数的四则运算规则</h2>
<p>设函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在点 \( x_0 \) 处连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在点 \( x_0 \) 处连续。</p>
<ul>
<li>加法：\( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)</li>
<li>减法：\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)</li>
<li>乘法：\( (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \)</li>
<li>除法：\( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0 \)</li>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p>假设 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 1 \) 在 \( x_0 = 2 \) 处都连续。</p>
<h4>加法</h4>
<p>\( (f + g)(x) = x^2 + (x + 1) = x^2 + x + 1 \)</p>
<p>在 \( x_0 = 2 \) 处：\((f + g)(2) = 2^2 + 2 + 1 = 7 \)</p>
<h4>减法</h4>
<p>\( (f - g)(x) = x^2 - (x + 1) = x^2 - x - 1 \)</p>
<p>在 \( x_0 = 2 \) 处：\((f - g)(2) = 2^2 - 2 - 1 = 3 \)</p>
<h4>乘法</h4>
<p>\( (f \cdot g)(x) = x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2 \)</p>
<p>在 \( x_0 = 2 \) 处：\((f \cdot g)(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 \)</p>
<h4>除法</h4>
<p>\( \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{x + 1} \)</p>
<p>在 \( x_0 = 2 \) 处：\(\left(\frac{f}{g}\right)(2) = \frac{2^2}{2 + 1} = \frac{4}{3} \)</p>
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