高等数学（一）

<div> <h2>闭区间上连续函数的性质</h2> <p>在闭区间 \([a, b]\) 上定义的连续函数具有以下重要性质：</p> <ul> <li><strong>有界性定理</strong>：若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界。</li> <li><strong>最值定理</strong>：若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上必能达到最大值和最小值。</li> <li><strong>介值定理</strong>：若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(a) \neq f(b)\)，则对于任意介于 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间的数 \(k\)，存在至少一个 \(c \in (a, b)\) 使得 \(f(c) = k\)。</li> </ul> <h3>例题说明</h3> <p>考虑函数 \(f(x) = x^2\) 在闭区间 \([-1, 2]\) 上的性质。</p> <ol> <li><strong>有界性</strong>：函数 \(f(x) = x^2\) 在 \([-1, 2]\) 上是有界的。因为当 \(x \in [-1, 2]\) 时，\(f(x)\) 的取值范围是 \([0, 4]\)。</li> <li><strong>最值</strong>：函数 \(f(x) = x^2\) 在 \([-1, 2]\) 上的最大值为 4，最小值为 0。分别在 \(x = 2\) 和 \(x = 0\) 处取得。</li> <li><strong>介值定理</strong>：假设 \(f(a) = 1\) 和 \(f(b) = 4\)，那么根据介值定理，对于任意 \(k \in (1, 4)\)，存在 \(c \in (-1, 2)\) 使得 \(f(c) = k\)。例如，当 \(k = 2\) 时，存在 \(c\) 满足 \(c^2 = 2\)，即 \(c = \sqrt{2}\) 或 \(c = -\sqrt{2}\)。由于 \(\sqrt{2} \approx 1.414\) 在 \((-1, 2)\) 内，故满足条件。</li> </ol> </div>

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