高等数学（一）

<div> <h2>初等函数的连续性</h2> <p>初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的，并且可以用一个解析式表示的函数。</p> <p>根据初等函数的定义，所有的初等函数在其定义域内都是连续的。</p> <p>常见的初等函数包括：</p> <ul> <li>幂函数：如 \(f(x) = x^n\)</li> <li>指数函数：如 \(f(x) = a^x\) (其中 \(a > 0, a \neq 1\))</li> <li>对数函数：如 \(f(x) = \log_a x\) (其中 \(a > 0, a \neq 1\))</li> <li>三角函数：如 \(f(x) = \sin x\), \(f(x) = \cos x\), \(f(x) = \tan x\)</li> <li>反三角函数：如 \(f(x) = \arcsin x\), \(f(x) = \arccos x\), \(f(x) = \arctan x\)</li> </ul> <p><strong>例题：</strong></p> <p>证明函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) 在其定义域内的连续性。</p> <p>首先，简化函数表达式：\(f(x) = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2\)，当 \(x \neq 2\) 时。</p> <p>由于 \(f(x) = x + 2\) 是一个多项式函数，而多项式函数在其定义域内是连续的，因此原函数在 \(x \neq 2\) 的情况下也是连续的。</p> <p>需要注意的是，虽然简化后的函数在 \(x = 2\) 处也定义了，但是原函数在 \(x = 2\) 处并没有定义，因为分母为零。因此，原函数在 \(x = 2\) 处不连续。</p> </div>

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