函数的连续性
函数在区间上连续的定义
重要程度：7 分
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<h2>函数在区间上连续的定义</h2>
<p>设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对于任意一点$x_0 \in I$，都有：</p>
<ol>
<li>$f(x_0)$存在；</li>
<li>$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在；</li>
<li>$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。</li>
</ol>
<p>则称函数$f(x)$在区间$I$上连续。</p>
<h3>例题</h3>
<p>判断函数$f(x)=x^2+1$在区间$[-1, 1]$上是否连续。</p>
<p><strong>解：</strong></p>
<ol>
<li>首先，$f(x)=x^2+1$在区间$[-1, 1]$内处处有定义，因此满足条件1。</li>
<li>其次，考虑$\lim_{x \to x_0} (x^2+1)$，由于$x^2+1$是一个多项式函数，多项式函数在其定义域内是处处连续的，因此$\lim_{x \to x_0} (x^2+1)$存在，即满足条件2。</li>
<li>最后，根据多项式函数的性质，$\lim_{x \to x_0} (x^2+1) = x_0^2 + 1 = f(x_0)$，即满足条件3。</li>
</ol>
<p>综上所述，函数$f(x)=x^2+1$在区间$[-1, 1]$上连续。</p>
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