函数的连续性
函数在一点处连续的定义
重要程度：8 分
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<h2>函数在一点处连续的定义</h2>
<p>设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某个邻域内有定义，若满足以下三个条件：</p>
<ol>
<li>\( f(x_0) \) 有定义；</li>
<li>\( \lim_{x \to x_0} f(x) \) 存在；</li>
<li>\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)，即当 \( x \) 趋近于 \( x_0 \) 时，\( f(x) \) 的极限值等于 \( f(x_0) \)。</li>
</ol>
<p>则称函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处连续。</p>
<h3>例题</h3>
<p>考虑函数 \( f(x) = x^2 \) 在点 \( x_0 = 2 \) 处的连续性。</p>
<ol>
<li>首先，\( f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( x_0 = 2 \) 处有定义。</li>
<li>其次，计算极限 \( \lim_{x \to 2} x^2 \)：</li>
<p>\[ \lim_{x \to 2} x^2 = 2^2 = 4 \]</p>
<li>最后，比较极限值与函数值：</li>
<p>\[ \lim_{x \to 2} x^2 = 4 = f(2) \]</p>
<p>因此，根据函数在一点处连续的定义，函数 \( f(x) = x^2 \) 在点 \( x_0 = 2 \) 处是连续的。</p>
</ol>
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