高等数学（一）

<div> <h2>等价无穷小量及其应用</h2> <p><strong>1. 等价无穷小量的定义：</strong></p> <p>当x趋向于某个值时，若两个无穷小量f(x)和g(x)满足条件：</p> <p>\[ \lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \]</p> <p>则称f(x)与g(x)是等价无穷小量，记作 \( f(x) \sim g(x) \)。</p> <p><strong>2. 常见的等价无穷小量：</strong></p> <ul> <li>当\( x \to 0 \)时，有：\(\sin x \sim x\)</li> <li>当\( x \to 0 \)时，有：\(\tan x \sim x\)</li> <li>当\( x \to 0 \)时，有：\(e^x - 1 \sim x\)</li> <li>当\( x \to 0 \)时，有：\(\ln(1+x) \sim x\)</li> <li>当\( x \to 0 \)时，有：\((1+x)^a - 1 \sim ax\)</li> </ul> <p><strong>3. 等价无穷小量的应用：</strong></p> <p>在计算极限时，利用等价无穷小量可以简化计算过程。</p> <p><strong>例题1：</strong>求极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{x}\)</p> <p>解：利用等价无穷小量 \(\sin(3x) \sim 3x\)，则</p> <p>\[\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{3x}{x} = 3\]</p> <p><strong>例题2：</strong>求极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^{2x} - 1}{x}\)</p> <p>解：利用等价无穷小量 \(e^{2x} - 1 \sim 2x\)，则</p> <p>\[\lim_{{x \to 0}} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{2x}{x} = 2\]</p> </div>

上一条