无穷小量的比较
无穷小量比较的方法
重要程度：7 分
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<h2>无穷小量的比较</h2>
<p>无穷小量的比较是通过比较两个无穷小量的比值来确定它们的相对大小。</p>
<ul>
<li>如果 \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称 \(f(x)\) 是比 \(g(x)\) 高阶的无穷小量。</li>
<li>如果 \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty\)，则称 \(f(x)\) 是比 \(g(x)\) 低阶的无穷小量。</li>
<li>如果 \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0\)，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是同阶无穷小量。</li>
<li>特别地，若 \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是等价无穷小量。</li>
</ul>
<h3>例题说明</h3>
<p>设 \(f(x) = x^2\) 和 \(g(x) = x\)，当 \(x \to 0\) 时，我们来比较这两个无穷小量。</p>
<ol>
<li>计算比值 \(\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{x} = x\)。</li>
<li>求极限 \(\lim\limits_{x \to 0} x = 0\)。</li>
<li>因为极限为 0，所以 \(x^2\) 是比 \(x\) 高阶的无穷小量。</li>
</ol>
<p>再设 \(f(x) = \sin x\) 和 \(g(x) = x\)，当 \(x \to 0\) 时，我们来比较这两个无穷小量。</p>
<ol>
<li>计算比值 \(\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sin x}{x}\)。</li>
<li>求极限 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。</li>
<li>因为极限为 1，所以 \(\sin x\) 与 \(x\) 是等价无穷小量。</li>
</ol>
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