极限的运算法则
极限存在准则
重要程度：7 分
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<h2>极限存在准则</h2>
<p>极限存在准则是判断函数极限是否存在的重要方法，主要包括两个准则：</p>
<ul>
<li><strong>夹逼准则</strong></li>
<li><strong>单调有界定理</strong></li>
</ul>
<h3>夹逼准则</h3>
<p>若在某点附近，函数f(x)始终被两个函数g(x)和h(x)所夹，且这两个函数在该点的极限相同，则f(x)在该点的极限也相同。</p>
<p>公式表示为：若 \(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = L\)，且在 \(x \to a\) 时，\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，则 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = L\)。</p>
<h4>例题说明</h4>
<p>求 \(\lim\limits_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)\)。</p>
<p>我们知道 \(-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1\)，因此有 \(-|x| \leq x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq |x|\)。</p>
<p>显然，\(\lim\limits_{x \to 0} -|x| = \lim\limits_{x \to 0} |x| = 0\)。</p>
<p>根据夹逼准则，\(\lim\limits_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0\)。</p>
<h3>单调有界定理</h3>
<p>如果一个数列 \(\{a_n\}\) 单调递增或递减，并且有上界或下界，则这个数列必有极限。</p>
<p>具体来说，若数列 \(\{a_n\}\) 满足：</p>
<ul>
<li>单调递增且有上界，或</li>
<li>单调递减且有下界，则</li>
</ul>
<p>\(\{a_n\}\) 必存在极限。</p>
<h4>例题说明</h4>
<p>考虑数列 \(\{a_n\} = \frac{1}{n}\)，显然 \(\{a_n\}\) 是单调递减的，且对所有 \(n\) 都有 \(a_n > 0\)。</p>
<p>根据单调有界定理，数列 \(\{a_n\}\) 存在极限。</p>
<p>我们计算得到 \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)。</p>
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