高等数学（一）

<div> <h2>复合函数的极限运算法则</h2> <p>如果 \(\lim_{{x \to a}} f(x) = A\) 且 \(\lim_{{u \to A}} g(u) = B\), 那么当 \(x \to a\) 时, 复合函数 \(g(f(x))\) 的极限存在, 且有:</p> <p>\(\lim_{{x \to a}} g(f(x)) = B\)</p> <p>简而言之, 如果函数 \(f(x)\) 在 \(x \to a\) 时的极限为 \(A\), 而函数 \(g(u)\) 在 \(u \to A\) 时的极限为 \(B\), 那么函数 \(g(f(x))\) 在 \(x \to a\) 时的极限就是 \(B\).</p> <h3>例题说明</h3> <p>假设 \(\lim_{{x \to 2}} (x^2 - 1) = 3\), 且 \(\lim_{{y \to 3}} \sqrt{y} = \sqrt{3}\). 那么当 \(x \to 2\) 时, 函数 \(\sqrt{x^2 - 1}\) 的极限为 \(\sqrt{3}\).</p> <p>证明如下:</p> <p>首先, \(\lim_{{x \to 2}} (x^2 - 1) = 3\), 这意味着当 \(x\) 接近 2 时, \(x^2 - 1\) 接近 3.</p> <p>其次, \(\lim_{{y \to 3}} \sqrt{y} = \sqrt{3}\), 这意味着当 \(y\) 接近 3 时, \(\sqrt{y}\) 接近 \(\sqrt{3}\).</p> <p>因此, 当 \(x \to 2\) 时, \(x^2 - 1 \to 3\), 而 \(\sqrt{x^2 - 1} \to \sqrt{3}\).</p> <p>所以, \(\lim_{{x \to 2}} \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{3}\).</p> </div>

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