高等数学（一）

<div> <h2>无穷大量的性质</h2> <ul> <li><strong>性质1：</strong> 有限个无穷大量之和仍为无穷大量。</li> <li><strong>性质2：</strong> 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量。</li> <li><strong>性质3：</strong> 两个正无穷大量之积仍为正无穷大量。</li> <li><strong>性质4：</strong> 两个负无穷大量之积为正无穷大量。</li> </ul> <h3>举例说明</h3> <p><strong>例题1：</strong> 证明：\(x + \frac{1}{x}\) 当 \(x \to +\infty\) 时是无穷大量。</p> <p><strong>证明：</strong> 当 \(x \to +\infty\) 时，显然 \(x\) 是无穷大量。同时，\(\frac{1}{x}\) 是无穷小量。根据性质2，无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量，因此 \(x \cdot \frac{1}{x} = 1\) 是有界的。所以 \(x + \frac{1}{x}\) 的主要部分是 \(x\)，当 \(x\) 趋于无穷大时，整个表达式趋于无穷大。</p> <p><strong>例题2：</strong> 证明：\(x^2 + x\) 当 \(x \to -\infty\) 时是负无穷大量。</p> <p><strong>证明：</strong> 当 \(x \to -\infty\) 时，\(x^2\) 和 \(x\) 都是无穷大量。由于 \(x^2\) 总是正的且增长更快，而 \(x\) 是负的，但随着 \(x\) 变得非常大（绝对值很大），\(x^2\) 的增长速度会远远超过 \(x\) 的减小速度。因此，\(x^2 + x\) 主要由 \(x^2\) 决定，而 \(x^2\) 趋于正无穷大。但由于 \(x\) 是负的且趋于无穷大，整体上 \(x^2 + x\) 趋于负无穷大。</p> </div>

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