高等数学（一）

<div> <h2>无穷大量的定义</h2> <p>在数学分析中，当自变量$x$趋于某个值$a$时，若函数$f(x)$的绝对值能够无限增大，则称$f(x)$为当$x \to a$时的无穷大量。</p> <p>用数学语言描述就是：对于任意正数$M$，总存在正数$\delta$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时，有$|f(x)| > M$。</p> <h3>举例说明</h3> <p>考虑函数$f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$，我们来证明当$x \to 1$时，$f(x)$是无穷大量。</p> <p>根据无穷大量的定义，我们需要找到一个$\delta$，使得当$0 < |x - 1| < \delta$时，$|f(x)| > M$。</p> <p>假设$M$是一个给定的正数，我们需要找到一个$\delta$，满足条件：</p> $$ \left|\frac{1}{(x-1)^2}\right| > M $$ <p>由于$(x-1)^2$总是正的，我们可以去掉绝对值符号：</p> $$ \frac{1}{(x-1)^2} > M $$ <p>解这个不等式，得到：</p> $$ (x-1)^2 < \frac{1}{M} $$ <p>取$\delta = \sqrt{\frac{1}{M}}$，则当$0 < |x - 1| < \delta$时，有：</p> $$ |x - 1| < \sqrt{\frac{1}{M}} $$ <p>这意味着：</p> $$ (x-1)^2 < \frac{1}{M} $$ <p>从而：</p> $$ \frac{1}{(x-1)^2} > M $$ <p>这证明了$f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$在$x \to 1$时是无穷大量。</p> </div>

上一条 下一条