数列的极限
收敛数列的性质
重要程度：8 分
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<h2>收敛数列的性质</h2>
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<strong>唯一性：</strong>
如果数列$\{a_n\}$收敛于$a$，那么这个极限$a$是唯一的。
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<em>例题:</em>
考虑数列$\{1/n\}$，当$n \to \infty$时，数列收敛于0。假设它还收敛于另一个值$b$，那么根据唯一性定理，$b$必须等于0。
</li>
<li>
<strong>有界性：</strong>
收敛数列一定是有界的，即存在一个正数$M$，使得对所有的$n$，都有$|a_n| \leq M$。
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<em>例题:</em>
对于数列$\{1/n\}$，可以取$M=1$，因为对于所有$n$，$|1/n| \leq 1$。
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<li>
<strong>保号性：</strong>
如果数列$\{a_n\}$收敛于$a > 0$，则存在正整数$N$，使得当$n > N$时，$a_n > 0$。
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<em>例题:</em>
对于数列$\{1/n\}$，由于其收敛于0，所以对于任何$a > 0$（比如$a=0.5$），存在某个$N$（比如$N=3$），当$n > N$时，$1/n < a$。
</li>
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<strong>迫敛性：</strong>
如果对于所有的$n$，都有$a_n \leq b_n \leq c_n$，且$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$，那么$\lim_{n \to \infty} b_n = L$。
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<em>例题:</em>
考虑数列$\{1/n^2\}$，显然$0 \leq 1/n^2 \leq 1/n$，而$\lim_{n \to \infty} 0 = \lim_{n \to \infty} 1/n = 0$，因此$\lim_{n \to \infty} 1/n^2 = 0$。
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