高等数学（一）

<div> <h2>数列极限的定义</h2> <p>数列 \(\{a_n\}\) 的极限是 \(L\) ，记作：</p> <p>\[\lim_{n \to \infty} a_n = L\]</p> <p>表示对于任意给定的正数 \(\varepsilon > 0\)，存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，都有 \(\left|a_n - L\right| < \varepsilon\)。</p> <h3>例题</h3> <p>考虑数列 \(\{a_n\} = \frac{1}{n}\)，证明 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。</p> <p>根据数列极限的定义，我们需要找到一个正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，有 \(\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon\)。</p> <p>即：\(\frac{1}{n} < \varepsilon\)。</p> <p>解得：\(n > \frac{1}{\varepsilon}\)。</p> <p>所以，取 \(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\) （其中 \(\left\lceil x \right\rceil\) 表示不小于 \(x\) 的最小整数），则当 \(n > N\) 时，有 \(\left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon\) 成立。</p> </div>

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