函数的性质
连续性
重要程度：9 分
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<h2>函数的连续性</h2>
<p>函数在某一点处的连续性是高等数学中的一个重要概念。函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义如下：</p>
<ul>
<li>$f(x)$在$x_0$处有定义；</li>
<li>$\lim_{{x \to x_0}} f(x)$存在；</li>
<li>$\lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0)$。</li>
</ul>
<p>如果上述三个条件都满足，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。</p>
<h3>例题</h3>
<p>判断函数$f(x) = x^2 + 1$在$x=2$处是否连续。</p>
<ol>
<li>$f(2) = 2^2 + 1 = 5$，所以在$x=2$处有定义。</li>
<li>$\lim_{{x \to 2}} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$，所以极限存在。</li>
<li>$\lim_{{x \to 2}} (x^2 + 1) = 5 = f(2)$，所以极限等于函数值。</li>
</ol>
<p>因此，函数$f(x) = x^2 + 1$在$x=2$处连续。</p>
</div>