函数的概念及其表示方法
复合函数
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<h2>复合函数</h2>
<p>复合函数是由两个或多个函数通过一定的规则组合而成的新函数。假设我们有两个函数 \( f \) 和 \( g \)，那么它们的复合函数记作 \( (f \circ g)(x) \)，其定义为:</p>
<p>$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $</p>
<p>即先对 \( x \) 应用 \( g \)，然后将 \( g(x) \) 的结果作为 \( f \) 的输入。</p>
<h3>例题1: 构造并计算复合函数</h3>
<p>给定函数 \( f(x) = x^2 + 1 \) 和 \( g(x) = 2x - 3 \)，求 \( (f \circ g)(x) \) 并计算 \( (f \circ g)(2) \)。</p>
<p>解：</p>
<p>首先，根据定义计算 \( (f \circ g)(x) \)：</p>
<p>$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 1 $</p>
<p>展开得到：</p>
<p>$ (f \circ g)(x) = (2x - 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10 $</p>
<p>然后计算 \( (f \circ g)(2) \)：</p>
<p>$ (f \circ g)(2) = 4(2)^2 - 12(2) + 10 = 16 - 24 + 10 = 2 $</p>
<h3>例题2: 确定函数的复合形式</h3>
<p>已知 \( h(x) = \sqrt{x+1} \)，并且 \( h(x) \) 可以表示为 \( f(g(x)) \)，其中 \( f(x) = \sqrt{x} \)。求 \( g(x) \)。</p>
<p>解：</p>
<p>由题意可知 \( h(x) = f(g(x)) \)，代入已知的 \( f \) 和 \( h \) 得到：</p>
<p>$ \sqrt{x+1} = f(g(x)) = \sqrt{g(x)} $</p>
<p>因此，要使等式成立，\( g(x) \) 必须满足 \( g(x) = x + 1 \)。</p>
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