高等数学(工专)

<div> <h2>常见等价无穷小量</h2> <p>在无穷小的比较中，有几种常见的等价无穷小量，在计算极限时可以简化运算。</p> <ul> <li>当 \( x \to 0 \) 时，\( \sin x \sim x \)</li> <li>当 \( x \to 0 \) 时，\( \tan x \sim x \)</li> <li>当 \( x \to 0 \) 时，\( \arcsin x \sim x \)</li> <li>当 \( x \to 0 \) 时，\( \arctan x \sim x \)</li> <li>当 \( x \to 0 \) 时，\( e^x - 1 \sim x \)</li> <li>当 \( x \to 0 \) 时，\( \ln(1+x) \sim x \)</li> <li>当 \( x \to 0 \) 时，\( (1+x)^a - 1 \sim ax \) （其中 \( a \neq 0 \)）</li> </ul> <h3>例题</h3> <p>求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)</p> <p>解：根据上面的等价无穷小量，当 \( x \to 0 \) 时，\(\sin x \sim x\)，所以：</p> <p>\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\]</p> <p>再求 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)</p> <p>解：根据上面的等价无穷小量，当 \( x \to 0 \) 时，\( e^x - 1 \sim x \)，所以：</p> <p>\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\]</p> <p>最后求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\)</p> <p>解：根据上面的等价无穷小量，当 \( x \to 0 \) 时，\( \ln(1+x) \sim x \)，所以：</p> <p>\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\]</p> </div>

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