第六节 无穷小的比较
等价无穷小量的替换定理
重要程度：9 分
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<h2>等价无穷小量的替换定理</h2>
<p><strong>定理：</strong>当 \( x \to 0 \) 时，若 \(\alpha(x)\) 和 \(\beta(x)\) 是等价无穷小量，则有：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1
\]
那么对于任意函数 \(f\)，若 \(f\) 在点 \(0\) 处连续，则有：
\[
f(\alpha(x)) \sim f(\beta(x))
\]
</p>
<p>这里，符号 \(\sim\) 表示两个无穷小量是等价的。</p>
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<h3>例题说明</h3>
<p>假设我们要计算以下极限：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}
\]
</p>
<p>根据等价无穷小量的替换定理，我们知道当 \(x \to 0\) 时，\(\sin(x) \sim x\)。因此，我们可以将 \(\sin(3x)\) 替换为 \(3x\)。
这样，原极限可以简化为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3
\]
</p>
<p>通过这个例子，可以看到在处理极限问题时，利用等价无穷小量的替换定理可以使计算变得更加简便。</p>
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