高等数学(工专)

<div> <h2>两个重要极限</h2> <p><strong>1. 第一个重要极限:</strong></p> <p>\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]</p> <p>这个极限表明当 \(x\) 趋近于0时，\(\frac{\sin x}{x}\) 的值趋近于1。</p> <p><strong>举例说明:</strong></p> <p>例如，当 \(x\) 接近0时，\(\frac{\sin(0.1)}{0.1} \approx 0.9983\)，而 \(\frac{\sin(0.01)}{0.01} \approx 0.999983\)。可以看出，随着 \(x\) 越来越接近0，\(\frac{\sin x}{x}\) 的值越来越接近1。</p> <p><strong>2. 第二个重要极限:</strong></p> <p>\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\]</p> <p>其中 \(e\) 是自然对数的底数，大约等于2.71828。这个极限表明当 \(x\) 趋近于无穷大时，\(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) 的值趋近于 \(e\)。</p> <p><strong>举例说明:</strong></p> <p>例如，当 \(x\) 很大时，\(\left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2.71692\)，而 \(\left(1 + \frac{1}{10000}\right)^{10000} \approx 2.71815\)。可以看出，随着 \(x\) 越来越大，\(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) 的值越来越接近 \(e\)。</p> </div>

上一条