第四节 极限运算法则
极限存在准则
重要程度：9 分
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<h2>极限存在准则</h2>
<p>极限存在准则是用来判断函数在某一点的极限是否存在的一种方法。主要包含两个准则：</p>
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<li><strong>夹逼定理（迫敛性）</strong></li>
<p>如果当x趋近于a时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且\(\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L\)，那么\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)。</p>
<li><strong>单调有界定理</strong></li>
<p>如果数列\(\{a_n\}\)单调增加且有上界，或单调减少且有下界，那么这个数列必有极限。</p>
</ol>
<h3>举例说明</h3>
<h4>夹逼定理示例</h4>
<p>证明：\(\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0\)</p>
<p>解：由于\(-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1\)，因此有</p>
<p>\(-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2\)。</p>
<p>因为\(\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0\)，根据夹逼定理，可得</p>
<p>\(\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0\)。</p>
<h4>单调有界定理示例</h4>
<p>证明数列\(\{a_n\}\)收敛，其中\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}\)。</p>
<p>解：首先证明数列是单调增加的：</p>
<p>假设\(a_n > a_{n-1}\)，则</p>
<p>\(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} > \sqrt{2 + a_{n-1}} = a_n\)。</p>
<p>因此，数列\(\{a_n\}\)单调增加。</p>
<p>其次证明数列是有界的：</p>
<p>由\(a_1 = 1\)，得</p>
<p>\(a_2 = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} < 2\)。</p>
<p>假设\(a_n < 2\)，则</p>
<p>\(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = 2\)。</p>
<p>因此，数列\(\{a_n\}\)是有界的。</p>
<p>综上所述，数列\(\{a_n\}\)单调增加且有上界，根据单调有界定理，数列\(\{a_n\}\)必有极限。</p>
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