高等数学(工专)

<div> <h2>函数的定义域和值域</h2> <p><strong>定义域：</strong> 函数的定义域是指函数自变量x可以取的所有可能值的集合。</p> <p><strong>值域：</strong> 函数的值域是指函数因变量y可以取的所有可能值的集合。</p> <h3>例题1：求函数$f(x) = \sqrt{x-3}$的定义域和值域。</h3> <p><strong>解：</strong> 为了使根号内的表达式有意义，必须满足$x-3 \geq 0$。因此，$x \geq 3$。所以，定义域为$[3, +\infty)$。</p> <p>对于值域，因为$\sqrt{x-3}$总是非负的，最小值为0（当$x=3$时），随着$x$增大，函数值也增大，没有上界。所以值域为$[0, +\infty)$。</p> <h3>例题2：求函数$g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$的定义域和值域。</h3> <p><strong>解：</strong> 为了使分母不为零，必须满足$x^2 - 4 \neq 0$。因此，$x \neq \pm 2$。所以，定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$。</p> <p>对于值域，由于$x^2 - 4$在$x=\pm 2$处有极值，且分子为常数1，函数在$x=\pm 2$附近会趋向于正无穷或负无穷。函数的值可以是除了0以外的所有实数。所以值域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。</p> </div>

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