条件概率
全概率公式
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<h2>全概率公式</h2>
<p>全概率公式是用于计算复杂事件概率的一种方法，它将一个复杂的事件概率分解为多个简单事件的概率之和。</p>
<p>设样本空间S被划分成互斥且完备的事件组 \( B_1, B_2, \ldots, B_n \)，即：</p>
<ul>
<li>\( B_i \cap B_j = \emptyset \) （\( i \neq j \)）</li>
<li>\( B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = S \)</li>
</ul>
<p>若事件A与这些事件组相交，则事件A的概率可以表示为：</p>
<p>\( P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i) \)</p>
<p>其中，\( P(B_i) \) 是事件 \( B_i \) 的概率，\( P(A|B_i) \) 是在事件 \( B_i \) 发生的条件下事件A发生的条件概率。</p>
<h3>例题</h3>
<p>假设某工厂有三个车间，分别生产同一种产品的50%，30%和20%。这三个车间的产品合格率分别为95%，90%和85%。求该产品总体的合格率。</p>
<ol>
<li>定义事件：
<ul>
<li>\( B_1 \): 产品来自第一个车间</li>
<li>\( B_2 \): 产品来自第二个车间</li>
<li>\( B_3 \): 产品来自第三个车间</li>
<li>\( A \): 产品合格</li>
</ul>
</li>
<li>已知条件：
<ul>
<li>\( P(B_1) = 0.5 \), \( P(B_2) = 0.3 \), \( P(B_3) = 0.2 \)</li>
<li>\( P(A|B_1) = 0.95 \), \( P(A|B_2) = 0.90 \), \( P(A|B_3) = 0.85 \)</li>
</ul>
</li>
<li>应用全概率公式：</li>
</ol>
<p>\( P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) + P(B_3) \cdot P(A|B_3) \)</p>
<p>\( P(A) = 0.5 \cdot 0.95 + 0.3 \cdot 0.90 + 0.2 \cdot 0.85 \)</p>
<p>\( P(A) = 0.475 + 0.27 + 0.17 \)</p>
<p>\( P(A) = 0.915 \)</p>
<p>因此，该产品的总体合格率为91.5%。</p>
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