离散数学

<div> <h2>逻辑等价</h2> <p>如果两个命题公式P和Q在所有可能的真值指派下都具有相同的真值，则称这两个命题公式是逻辑等价的。</p> <p>表示符号：P ≡ Q</p> <h3>例题：</h3> <p>证明 (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) 与 P ↔ Q 是逻辑等价的。</p> <table border="1"> <tr> <th>P</th> <th>Q</th> <th>(P ∧ Q)</th> <th>(¬P ∧ ¬Q)</th> <th>(P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)</th> <th>P ↔ Q</th> </tr> <tr> <td>T</td> <td>T</td> <td>T</td> <td>F</td> <td>T</td> <td>T</td> </tr> <tr> <td>T</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> </tr> <tr> <td>F</td> <td>T</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> </tr> <tr> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>T</td> <td>T</td> <td>T</td> </tr> </table> <p>从上表可以看出，(P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) 和 P ↔ Q 在所有真值指派下具有相同的真值，因此它们是逻辑等价的。</p> <h2>蕴含式</h2> <p>如果当命题公式P为真时，命题公式Q也必须为真，则称P蕴含Q。</p> <p>表示符号：P → Q</p> <h3>例题：</h3> <p>证明 P → Q 与 ¬P ∨ Q 是逻辑等价的。</p> <table border="1"> <tr> <th>P</th> <th>Q</th> <th>¬P</th> <th>(¬P ∨ Q)</th> <th>(P → Q)</th> </tr> <tr> <td>T</td> <td>T</td> <td>F</td> <td>T</td> <td>T</td> </tr> <tr> <td>T</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> <td>F</td> </tr> <tr> <td>F</td> <td>T</td> <td>T</td> <td>T</td> <td>T</td> </tr> <tr> <td>F</td> <td>F</td> <td>T</td> <td>T</td> <td>T</td> </tr> </table> <p>从上表可以看出，P → Q 和 ¬P ∨ Q 在所有真值指派下具有相同的真值，因此它们是逻辑等价的。</p> </div>

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