高等数学（工本）

<h2>等价无穷小替换定理</h2> <p>在计算函数极限时，当自变量趋近于某个值时，两个无穷小量的比值趋近于1，则这两个无穷小量是等价的。</p> <p>等价无穷小替换定理表明，如果当$x \to x_0$时，$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是无穷小量，并且$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则当$x \to x_0$时，$\alpha(x)$和$\beta(x)$是等价无穷小量，记为$\alpha(x) \sim \beta(x)$。</p> <h3>等价无穷小替换定理的应用</h3> <p>在求极限时，可以用等价无穷小替换定理简化计算。</p> <h4>例题1</h4> <p>求极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$</p> <p>解：因为当$x \to 0$时，$\sin(3x) \sim 3x$，所以原式可转化为</p> <p>$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3$</p> <h4>例题2</h4> <p>求极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$</p> <p>解：因为当$x \to 0$时，$e^{2x}-1 \sim 2x$，所以原式可转化为</p> <p>$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$</p>

上一条