第八节 极限运算法则
两个重要极限
重要程度：10 分
<h2>两个重要极限</h2>
<p>在极限运算中，有两个重要的极限公式经常被用到：</p>
<ol>
<li>
<strong>第一个重要极限：</strong>
<p>当 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{\sin x}{x} \) 的极限为 1。</p>
<p>即：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)</p>
</li>
<li>
<strong>第二个重要极限：</strong>
<p>当 \( x \) 趋近于无穷大或无穷小时，\( (1 + \frac{1}{x})^x \) 的极限为 \( e \)。</p>
<p>即：\( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \)</p>
</li>
</ol>
<h3>例题与证明</h3>
<h4>例题1：利用第一个重要极限求极限</h4>
<p>求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} \)</p>
<ol>
<li>
<p>将 \( x \) 替换为 \( \frac{x}{5} \)，则 \( x \) 趋近于 0 时，\( \frac{x}{5} \) 也趋近于 0。</p>
<p>因此，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{\frac{x}{5} \to 0} \frac{\sin (5 \cdot \frac{x}{5})}{\frac{x}{5}} \)</p>
<p>简化得：\( \lim_{\frac{x}{5} \to 0} \frac{\sin x}{\frac{x}{5}} = \lim_{\frac{x}{5} \to 0} 5 \cdot \frac{\sin x}{x} = 5 \cdot 1 = 5 \)</p>
</li>
</ol>
<h4>例题2：利用第二个重要极限求极限</h4>
<p>求 \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x} \)</p>
<ol>
<li>
<p>根据第二个重要极限，当 \( x \) 趋近于无穷大时，\( (1 + \frac{1}{x})^x \) 的极限为 \( e \)。</p>
<p>因此，\( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x} = \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{1}{x})^x]^2 = e^2 \)</p>
</li>
</ol>