高等数学（工本）

<div> <h2>复合函数的极限运算法则</h2> <p>设函数\(y = f(u)\)在点\(u\)的极限存在，即\(\lim_{{u \to u_0}} f(u) = A\)；又函数\(u=g(x)\)在点\(x\)的极限也存在，即\(\lim_{{x \to x_0}} g(x) = u_0\)，那么复合函数\(y = f(g(x))\)在点\(x\)的极限也存在，且有：</p> <p>\[\lim_{{x \to x_0}} f(g(x)) = \lim_{{u \to u_0}} f(u) = A\]</p> <p>这个法则告诉我们，如果一个函数\(f\)在另一个函数\(g(x)\)的极限值处是连续的，那么复合函数\(f(g(x))\)的极限就是把\(x\)的极限值代入\(g(x)\)得到的结果。</p> <h3>例题</h3> <p>求\(\lim_{{x \to 1}} (2x^2 + 3)^3\)。</p> <p>首先，令\(u = 2x^2 + 3\)，则原式变为\(\lim_{{x \to 1}} u^3\)。</p> <p>计算\(u\)的极限：\(\lim_{{x \to 1}} (2x^2 + 3) = 2(1)^2 + 3 = 5\)。</p> <p>因此，\(\lim_{{x \to 1}} (2x^2 + 3)^3 = \lim_{{u \to 5}} u^3 = 5^3 = 125\)。</p> </div>

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