第三节 复合函数与反函数
反函数的求法
重要程度：9 分
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<h2>反函数的求法</h2>
<p>反函数是一种特殊的函数，表示将原函数的值域映射回定义域的过程。给定一个函数 \( y = f(x) \)，如果对于每一个 \( y \) 值，存在唯一的 \( x \) 值与之对应，则这个函数有反函数。</p>
<p>求反函数的一般步骤如下：</p>
<ol>
<li>写出原函数表达式 \( y = f(x) \)。</li>
<li>解出 \( x \) 关于 \( y \) 的表达式，即 \( x = g(y) \)。</li>
<li>交换 \( x \) 和 \( y \) 的位置，得到 \( y = g(x) \)。</li>
<li>检查新的函数是否满足函数的定义，确保每个 \( x \) 值对应唯一的 \( y \) 值。</li>
</ol>
<h3>例题</h3>
<p>例题：求函数 \( y = 2x + 1 \) 的反函数。</p>
<ol>
<li>写出原函数表达式：\( y = 2x + 1 \)。</li>
<li>解出 \( x \) 关于 \( y \) 的表达式：
<p>\[ y = 2x + 1 \]</p>
<p>\[ y - 1 = 2x \]</p>
<p>\[ x = \frac{y - 1}{2} \]</p>
</li>
<li>交换 \( x \) 和 \( y \) 的位置：
<p>\[ y = \frac{x - 1}{2} \]</p>
</li>
<li>检查新的函数是否满足函数的定义：显然，每个 \( x \) 值对应唯一的 \( y \) 值。</li>
</ol>
<p>因此，函数 \( y = 2x + 1 \) 的反函数是 \( y = \frac{x - 1}{2} \)。</p>
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