第一节 函数的概念及其表示方法
函数的性质
重要程度：6 分
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<h2>函数的性质</h2>
<ul>
<li><strong>定义域和值域</strong>
<p>定义域是函数自变量x的取值范围，值域是函数因变量y的取值范围。</p>
<p><strong>例题：</strong>函数$f(x) = \sqrt{x}$，其定义域为$x \geq 0$，值域为$y \geq 0$。</p>
</li>
<li><strong>奇偶性</strong>
<p>如果对于所有的$x$，都有$f(-x) = f(x)$，则函数$f(x)$是偶函数。</p>
<p>如果对于所有的$x$，都有$f(-x) = -f(x)$，则函数$f(x)$是奇函数。</p>
<p><strong>例题：</strong>函数$f(x) = x^2$是偶函数，因为$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$。</p>
<p>函数$f(x) = x^3$是奇函数，因为$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$。</p>
</li>
<li><strong>单调性</strong>
<p>如果在定义域内，任意两点$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则函数$f(x)$是增函数。</p>
<p>如果在定义域内，任意两点$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数$f(x)$是减函数。</p>
<p><strong>例题：</strong>函数$f(x) = 2x + 1$是增函数，因为当$x_1 < x_2$时，$f(x_1) = 2x_1 + 1 < 2x_2 + 1 = f(x_2)$。</p>
</li>
<li><strong>周期性</strong>
<p>如果存在一个非零常数$T$，使得对于所有$x$都有$f(x+T) = f(x)$，则函数$f(x)$是周期函数。</p>
<p><strong>例题：</strong>函数$f(x) = \sin(x)$是周期函数，周期为$2\pi$，因为$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$。</p>
</li>
</ul>
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