动量和角动量
角动量守恒定律
重要程度：10 分
<h2>角动量守恒定律</h2>
<p><strong>定义：</strong>在一个孤立系统中，如果系统的外力矩为零，则系统的总角动量保持不变。数学表达式为：<br>
<code>L = r × p = m(r × v)</code><br>
其中，<code>L</code> 是角动量，<code>r</code> 是位置矢量，<code>p</code> 是动量，<code>m</code> 是质量，<code>v</code> 是速度。</p>
<p><strong>守恒条件：</strong>当系统的外力矩 <code>M = 0</code> 时，角动量守恒。<br>
即：<code>L_初 = L_末</code></p>
<h3>例题 1：花样滑冰运动员的旋转</h3>
<p><strong>题目：</strong>一个花样滑冰运动员在冰面上旋转，初始时两臂张开，转动惯量为 <code>I_1 = 5 kg·m²</code>，角速度为 <code>ω_1 = 4 rad/s</code>。当她将双臂收回时，转动惯量减小到 <code>I_2 = 2 kg·m²</code>。求此时的角速度 <code>ω_2</code>。</p>
<p><strong>解题步骤：</strong></p>
<ul>
<li>根据角动量守恒定律：<code>L_1 = L_2</code></li>
<li>即：<code>I_1 · ω_1 = I_2 · ω_2</code></li>
<li>代入已知数据：<code>5 · 4 = 2 · ω_2</code></li>
<li>解得：<code>ω_2 = 10 rad/s</code></li>
</ul>
<p><strong>结论：</strong>当运动员将双臂收回时，转动惯量减小，为了保持角动量守恒，角速度增大。</p>
<h3>例题 2：碰撞中的角动量守恒</h3>
<p><strong>题目：</strong>两个物体在光滑水平面上发生碰撞，物体 A 的质量为 <code>m_A = 2 kg</code>，以速度 <code>v_A = 3 m/s</code> 绕固定点 O 旋转；物体 B 的质量为 <code>m_B = 1 kg</code>，静止在距离 O 点 <code>r_B = 2 m</code> 处。碰撞后，两物体粘在一起继续绕 O 点旋转。求碰撞后的角速度 <code>ω</code>。</p>
<p><strong>解题步骤：</strong></p>
<ul>
<li>碰撞前，物体 A 的角动量为：<code>L_A = m_A · r_A · v_A</code></li>
<li>设物体 A 到 O 点的距离为 <code>r_A = 1 m</code>，则：<code>L_A = 2 · 1 · 3 = 6 kg·m²/s</code></li>
<li>物体 B 静止，角动量为 <code>L_B = 0</code></li>
<li>碰撞后，两物体的总转动惯量为：<code>I = (m_A + m_B) · r^2</code></li>
<li>其中，<code>r = 1.5 m</code>（假设碰撞后两物体的质心距 O 点的距离），则：<code>I = (2 + 1) · (1.5)^2 = 6.75 kg·m²</code></li>
<li>根据角动量守恒：<code>L_初 = L_末</code></li>
<li>即：<code>6 = 6.75 · ω</code></li>
<li>解得：<code>ω ≈ 0.89 rad/s</code></li>
</ul>
<p><strong>结论：</strong>碰撞后，两物体的总角动量保持不变，但由于转动惯量增大，角速度减小。</p>