1.5 概率与统计基础
统计量及其分布
重要程度：8 分
<h2>1.5 概率与统计基础 - 统计量及其分布</h2>
<p><strong>统计量：</strong>统计量是从样本数据中计算得出的值，用于估计总体参数或描述样本特性。常见的统计量包括样本均值、样本方差等。</p>
<h3>1. 样本均值</h3>
<p>对于一个包含n个观察值\(x_1, x_2, ..., x_n\)的样本，其样本均值\(\bar{x}\)定义为所有观察值之和除以观察值的数量：</p>
\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]
<p><strong>例题：</strong>假设某仓库连续7天的日出库量分别为：120, 130, 140, 150, 135, 145, 140件。求这七天日出库量的平均值。</p>
<p>解: \(\bar{x} = (120 + 130 + 140 + 150 + 135 + 145 + 140)/7 = 960/7 ≈ 137.14\)件。</p>
<h3>2. 样本方差</h3>
<p>样本方差\(s^2\)衡量了样本数据之间的差异程度，它被定义为每个观察值与样本均值之差的平方和的平均数：</p>
\[ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \]
<p><strong>例题：</strong>继续使用上述例子中的日出库量数据来计算样本方差。</p>
<p>解: 首先，我们已经知道\(\bar{x} ≈ 137.14\)。接下来计算每个数值减去均值后的平方再求平均：</p>
\[ s^2 = \frac{(120-137.14)^2 + (130-137.14)^2 + ... + (140-137.14)^2}{7-1} \]
\[ s^2 ≈ \frac{300.84 + 51.24 + ... + 9.00}{6} ≈ 171.67 \]
<h3>3. 统计量的分布</h3>
<p>当从同一总体中抽取不同样本时，基于这些样本计算得到的统计量（如均值）也会有所不同。这种情况下，统计量本身也可以被视为随机变量，并具有特定的概率分布。</p>
<ul>
<li><strong>中心极限定理：</strong>当样本容量足够大时，无论原始数据遵循何种分布，样本均值的分布将趋向于正态分布。</li>
</ul>
<p><strong>例题：</strong>假设某种商品的日销量服从均值为100、标准差为20的正态分布。如果每天随机选取50件作为样本进行检查，那么这些样本均值的分布如何？</p>
<p>解: 根据中心极限定理，即使原分布不是正态分布，但因为样本大小n=50足够大，所以样本均值\(\bar{X}\)将接近于正态分布，其均值仍为100，而标准误差则为\(20/\sqrt{50} ≈ 2.83\)。</p>
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